关于质量输运问题中最优自由Dirichlet区域的结构

对于 $d$ 维空间 $\mathbb{R}^d$ 上的紧支撑概率测度 $\mu$，平均距离问题要求在所有满足Hausdorff $1$-测度约束 $\mathcal{H}^1(\Sigma) \leq \ell$ 的紧致连通子集 $\Sigma \subseteq \mathbb{R}^d$ 上最小化平均距离泛函。该问题由Buttazzo、Oudet和Stepanov于2002年首次提出，用于研究输运成本为零的自由区域上的最优输运问题，此后得到了大量研究。最近，Kobayashi、Kim和作者利用重心场（Kobayashi、Hayase和Kim先前引入的用于研究平均距离泛函的工具）研究了这些区域的结构。在本文中，我们在此工作基础上，以更大的普遍性证明了Buttazzo、Oudet和Stepanov猜想的最小化子的拓扑描述。特别地，我们在这些作者最初研究的情形下证明了所有维度下的这一猜想。