关于有限链环上常循环码的结构

在本文中，我们提供了有限链环（FCR）$\mathcal{R}$ 上任意长度 $\ell$ 的 $\lambda$-常循环码 $\mathcal{C}$ 的生成元的显式构造，该构造基于环 $\mathcal{R}[x]/ \langle x^{\ell}-\lambda \rangle$ 的某些最小次数多项式。此外，所提出的构造实现了最小可能数量的生成元。我们证明了这组生成元的某些性质，并利用这些性质获得了 $\mathcal{C}$ 的最小生成集。我们还得到 $\mathcal{C}$ 的秩为 $\ell-n_0$，其中 $n_0$ 是 $\mathcal{C}$ 中最小次数多项式的次数。最后，我们根据 $\mathcal{R}$ 的剩余域 $\mathbb{F}_q$ 上 $\mathcal{C}$ 的挠码，推导了 $\mathcal{R}$ 上任意长度 $\lambda$-常循环码 $\mathcal{C}$ 是相对于秩的最大汉明距离（MHDR）以及最大距离可分（MDS）的充分必要条件。我们进一步确定了 $\mathcal{R}$ 上 $\mathcal{C}$ 为MHDR时 $n_0$ 的精确值。