内部拼贴系统的最小规模

字符串 $T$ 的直线程序（SLP）是乔姆斯基范式下的上下文无关文法，仅推导 $T$，可视为 $T$ 的压缩形式。Kida 等人引入了拼贴系统以通过添加重复规则和截断规则来推广SLP。$T$ 的拼贴系统最小规模 $c(T)$ 受到关注，以研究这些推广规则如何提升SLP的压缩能力。Navarro 等人证明了 $c(T) \in O(z(T))$，且存在字符串族满足 $c(T) \in \Omega(b(T) \log |T|)$，其中 $z(T)$ 是 $T$ 的Lempel-Ziv解析中的短语数，$b(T)$ 是 $T$ 的双向方案的最小规模。他们还引入了一类拼贴系统，称为内部拼贴系统，并证明其最小规模 $\hat{c}(T)$ 至少为 $b(T)$。虽然 $c(T) \le \hat{c}(T)$ 是显然的，但 $\hat{c}(T)$ 相对于 $c(T)$ 有多大仍是未知的。在本文中，我们通过证明任意规模为 $m$ 的拼贴系统可在 $O(m^2)$ 时间内转化为规模为 $O(m)$ 的内部拼贴系统，从而证明了 $\hat{c}(T) = \Theta(c(T))$。得益于这一结果，我们可以专注于内部拼贴系统来研究 $c(T)$ 的渐近行为，这有助于抑制截断规则的过度使用。作为直接应用，我们得到 $b(T) = O(c(T))$，回答了 Navarro 等人提出的一个开放问题。我们还给出了计算给定 $T$ 的 $\hat{c}(T)$ 的MAX-SAT公式化。