基于内蕴体积的线性可分性概率研究

如果具有两个标签的数据集可以被一个超平面划分为两类，则它是线性可分的。这给某些统计工具（如逻辑回归）带来诅咒，但对其他工具（如支持向量机）则是福音。最近，以下问题重新引起了关注：数据线性可分的概率是多少？我们给出了高斯特征且标签仅依赖于特征的一个边缘分布（如广义线性模型中）时线性可分概率的公式。在此设定下，我们推导出了一个补充 Hayakawa、Lyons 和 Oberhauser [2023] 近期结果的界限，以及针对符号翻转噪声的紧致上界。为了证明我们的结果，我们利用了该概率可以表示为形式为 $\text{span}\{v\}\oplus[0,\infty)^n$ 的多面体锥的内蕴体积之和这一事实，如 Cand\`es 和 Sur [2020] 所示。在给出该锥的不等式描述和投影到其上的算法后，我们计算了其内蕴体积。在此过程中，我们遇到了 Youden's demon 问题，并给出了遵循 Kabluchko 和 Zaporozhets [2020] 的公式。本工作的关键洞察如下：数据中正确标注的观测值数量影响了该多面体锥的结构，从而允许将几何学的洞察转化为统计学。