关于高阶表示函数的单调性

对于正整数 $h$，令 $R_{A,h}(n)$ 表示所有 $s_i\in A$ 的有序表示 $n=s_1+\cdots+s_h$ 的个数。令 $$B=\{0\}\cup\{m\ge 1:\text{ 的基 4 展开以 1 或 2 开头}\}.$$ Shallit 证明了 $R_{B,3}(n)$ 是严格递增的，从而否证了 Dombi 在 2002 年提出的一个猜想。本文通过使用 $R_{B,3}(n+1)-R_{B,3}(n)$ 的线性界和卷积论证，证明了对于每个整数 $h\ge 3$，$R_{B,h}(n+1)-R_{B,h}(n)$ 的多项式阶。更精确地说，对于每个整数 $h\ge 3$，存在仅依赖于 $h$ 的常数 $c_h,C_h>0$，使得对所有整数 $n\ge 1$，有 $$c_h n^{h-2}\le R_{B,h}(n+1)-R_{B,h}(n)\le C_h n^{h-2}。$$ 我们还构造了一个余有限集 $C\subset\mathbb N$，满足 $\lim_{n\to\infty}C(n)/n=1$，使得 $R_{C,h}(n)$ 对每个整数 $h\ge 3$ 都是严格递增的。这回答了 Dombi 在 2002 年提出的一个问题。我们还提出了一些供进一步研究的问题。