具有拉伸指数尾的次临界分支随机游走的最大位移

我们研究了具有后代分布 $\{p_k\}$ 和步长 $X$ 的一维次临界分支随机游走的最大位移，其中 $m := \sum_{k=1}^\infty k p_k \in (0,1)$。设 $M_n$ 为时刻 $n$ 存活的所有粒子的最大位置，并设 $M := \sup_{n \in \mathbb{N}} M_n$。首先，我们证明当 $\mathbb{P}(X > x) = \ell(x) x^a e^{-\lambda x^b}$ 对某个慢变函数 $\ell$、$b \in [0,1)$ 成立，且在关于 $a$ 的进一步假设下，有 $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\lambda x^b}}{\ell(x) x^a } \, \mathbb{P}(M > x) = \frac{1 - p_0}{1 - m}$$ 接下来，我们证明在 $\sum_{k=1}^\infty k (\log k) p_k < \infty$ 且对某个 $x_*>0$，对所有 $x > x_*$ 有 $\mathbb{P}(X > x) = \int_x^\infty \ell(y) y^a e^{-\lambda y^b - \gamma y} \, \mathrm{d}y$ 的条件下，$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\lambda x^b+\gamma x}}{\ell(x) x^a } \, \mathbb{P}(M > x) \quad \text{存在且属于 } (0, \infty)$$ 这里 $\ell$ 是慢变函数，$m \mathbb{E}(e^{\gamma X}) < 1$，$b \in [0,1)$，且 $a$ 满足某些条件。