李型有限群的弦拓扑

我们证明，任意特征为 p 且不同于 $\ell$ 的李型有限群的 mod $\ell$ 上同调，通过由弦拓扑（仿 Chas-Sullivan）构造的环与模结构，容许作为对应紧李群 $G$ 的分类空间 $BG$ 的自由环路空间的 mod $\ell$ 上同调之上的模结构。如果李型有限群的同调中由 $G$ 的基本类产生的某个类非平凡，则该模结构为秩一自由模，从而提供两个上同调之间的高度结构化同构。我们在一系列情形中验证了该类的非平凡性，包括域为 $q$ 个元素上的所有单连通无扭经典群，其中 $q$ 模 $\ell$ 同余于 1。我们还展示了如何处理扭并避免同余条件：用依赖于 $q$ 模 $\ell$ 阶的某个 $\ell$-紧不动点群替换 $BG$，而不改变有限群。经此修正，我们不知有任何该类平凡的例子，这提出了对 Tezuka 一个开放性问题的一般结构性答案的可能性，他曾推测这两个上同调环之间存在同构。