关于局部增长的Loewner链的几何

Loewner链在缝映射理论中无处不在，因此在有界共形映射的研究中也无处不在。在过去几十年中，由于它们在统计物理和分形几何中的应用，特别是在涉及随机性的情境中，它们引起了新的兴趣。在本文中，我们深入研究了由具有一般局部增长性质的Loewner链获得的增长壳的拓扑特征，灵感来自Loewner和Pommerenke的经典工作。我们首先重新审视Loewner定理，将每个局部增长的壳族与一个实值驱动函数$W$（可能不连续）相关联。然后我们研究按时间顺序添加到增长壳中的点，这些点可能是单连通被吞并的“气泡”的一部分，或是一个紧致连通边界集。对于连续驱动函数，Loewner链通常可以与一条连续曲线（称为“生成曲线”）相关联。受此启发，我们为Loewner链引入了更一般的“生成函数”概念，并刻画了何时存在这样的函数${\eta}$（可以是连续的、右连左极的、左连右极的，或两者都不是）。然后我们从增长壳的拓扑角度研究${\eta}$的左、右极限的必要性。我们特别发现，左连续性蕴含壳的道路连通性和局部连通性，以及右极限的存在性，而左连续性的缺失则导致病态的边界行为。