关于完全二部图$K_{3,b+1}$的广义Turán数

对于图$F$和$H$，令$\mathrm{ex}(n,H,F)$表示$n$个顶点的$F$-free图中$H$的最大拷贝数。最近，Janzer、Longbrake和Yepremyan证明了对于$3<a\leq b$和充分大的$t$，\begin{equation*} \mathrm{ex}(n,K_{a,b},K_{3,t})=\Theta_{a,b,t}(n^3). \end{equation*} 随后，Hou、Hu和Wang通过证明该结论对所有$t\geq 2\max\{3,\lceil b/2\rceil\}+1$成立，使该阈值显式化。特别地，对于每个偶数$b\geq 6$，这与必要阈值$t=b+1$相匹配。在本文中，我们解决了$b$为奇数的剩余情况。更精确地说，我们证明对于所有固定的整数$b\geq 5$和$3<a\leq b$，\begin{equation*} \mathrm{ex}(n,K_{a,b},K_{3,b+1})=\Theta_{a,b}(n^3). \end{equation*} 我们的构造使用$\mathrm{PG}(5,q)$中的有限域点集以及正交配极。关键的新工具是Andrade、Bary-Soroker和Rudnick提出的多项式分裂引理，它产生许多平面，这些平面与点集的交集及其配极平面的大小均为$b$。这给出了一个$K_{3,b+1}$-free关联图，同时保留了$\Omega_{a,b}(n^3)$个$K_{a,b}$的拷贝。