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关于指数丢番图方程 $(a^n+1)(b^n+1)=x^2$

数论 2026-06-30 v1
作者: Paulius Virbalas
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摘要

我们研究丢番图方程 (an+1)(bn+1)=x2(a^n+1)(b^n+1)=x^2，该方程属于源自Szalay在2000年工作的方程族。如果 a>1a>1，我们证明当 aa 和 bb 是同一整数 t>1t>1 的不同幂时，标题方程在正整数中只有一个解。此外，在 aa 和 bb 互素且 nn 为偶数的假设下，我们获得了解的完整描述。我们还考虑了该方程的几个其他特殊情况，并提出了两个猜想。

关键词

指数丢番图方程 Szalay方程 整数解 互素 整数幂

引用

@article{arxiv.2606.31223,
  title  = {On the exponential Diophantine equation $(a^n+1)(b^n+1)=x^2$},
  author = {Paulius Virbalas},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2606.31223},
  year   = {2026}
}