3-graph 完美匹配的局部谱条件

设 $\gamma$ 为常数满足 $0 < \gamma < 1$，设 $n$ 为充分大的整数。考虑一个 $n$ 顶点的 $3$ 均匀超图 $H$。2013年，K"{u}hn、Osthus 和 Treglown 以及 Khan 独立证明：当 $n$ 足够大且 $n\equiv 0\pmod{3}$ 时，若 $\delta_1(H)\geq\binom{2n/3}{2}$，则 $H$ 存在完美匹配。对于任意 $v\in V(H)$，定义 $N_H(v)$ 为以 $V(H)\setminus\{v\}$ 为顶点集、边集 $E(N_H(v)) = \{e\subseteq V(H)\setminus\{v\}: e\cup \{v\}\in E(H)\}$ 为 $2$ 图。本文证明：若 $\rho(N_H(v)) > (2/3+\gamma)n$ 对所有 $v\in V(H)$ 成立，其中 $\rho(N_H(v))$ 为 $N_H(v)$ 的谱半径，则 $H$ 存在完美匹配。该界限渐进紧致。进一步地，对于满足 $n\geq 3s+3$ 的整数 $s$，我们建立：若对每个 $v\in V(H)$ 都有 $\rho(N_H(v))>\frac{1}{2}(s-1+\sqrt{(s-1)^2+4s(n-s-1)})$，则 $H$ 存在大小为 $s+1$ 的分数匹配。值得注意的是，第二个谱界是紧致的。