关于 $\epsilon$-稠密部分拉丁方的完备化

一个 $n$ 阶部分拉丁方被称为 $\epsilon$-稠密的，如果每一行和每一列至多包含 $\epsilon n$ 个填充单元格，并且每个符号至多出现 $\epsilon n$ 次。如果一个部分拉丁方的空单元格可以被填充以得到一个拉丁方，则称它是可完备化的。Daykin 和 H\"{a}ggkvist 猜想每个 $\frac{1}{4}$-稠密的部分拉丁方都是可完备化的。在本文中，我们证明对于所有足够大的整数 $n$，每个 $n$ 阶 $\frac{2}{25}$-稠密的部分拉丁方都是可完备化的。证明通过建立以下事实获得：存在一个 $\eta > 0$，使得每个在 $3n$ 个顶点上、部间最小度至少为 $(\frac{23}{25}-\eta)n$ 的三角形可分解平衡三部图都允许分数三角形分解。