射影几何的余度 Turán 密度

设 $F$ 为 $k$-一致超图，简称 $k$-图。余度 Turán 密度 $\gamma(F)$ 是所有 $\gamma \in [0,1)$ 的上确界，使得对于任意大的 $n$，存在一个 $n$ 顶点且不含 $F$ 的 $k$-图 $H$，其每个 $(k-1)$-子集至少包含在 $\gamma n$ 条边中。设 $PG_m(q)$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的 $m$ 维射影几何。本文证明，对所有 $m$ 和 $q$，有 $\gamma(PG_m(q)) \ge \frac{1}{p}> 0$，其中 $p$ 是 $q+1$ 的最小素因子。这解决了 Keevash 和 Zhao (JCT-B, 2007) 提出的一个开放问题。此外，当 $q$ 为奇素幂时，我们确定了 $PG_4(q)$ 的精确余度 Turán 密度。