超圆的弧长与 π 的超几何级数表示

我们获得了超圆弧长的无穷级数表示，该表示以尺度参数 $a$ 和形状参数 $n$ 表达。所得表达式通过广义二项式系数和 Gauss 超几何函数构造，并区分了与 $n$ 值相关的两种情形。我们还分析了所得级数的绝对收敛性。我们通过极限情形和超圆族的特殊构型验证了该公式的一致性：当 $n\to0^+$ 和 $n\to\infty$ 时，长度收敛于值 $8a$，对应于极限直线几何；而当 $n=1$ 时，我们恢复了对角线长度为 $2a$ 的菱形的周长。此外，作为对具有精确弧长的超圆的验证，该公式以高数值精度重现了抛物星形线、星形线和圆的弧长。最后，通过特化圆形情形 $n=2$ 并将长度按直径 $2a$ 归一化，我们获得了常数 $\pi$ 的以超几何函数表示的级数。