关于 $k$-Opt 与 Lin-Kernighan 算法的近似比

$k$-Opt 与 Lin-Kernighan 算法是度量 TSP（Metric TSP）最重要的两种局部搜索方法。二者均从任意游程出发，在每一步进行局部改进以获得更短的游程。我们证明对任意固定的 $k\geq 3$，$k$-Opt 算法在度量 TSP 上的近似比为 $O(\sqrt[k]{n})$。在 Erd\H{o}s 围长猜想成立的前提下，我们证明了一个匹配的 $\Omega(\sqrt[k]{n})$ 下界。无条件地，我们对 $k=3,4,6$ 得到匹配界，以及 $\Omega(n^{\frac{2}{3k-3}})$ 的下界。我们最一般的界依赖于极值图论中某一函数的值，并且无条件地紧至顶点数的对数因子。此外，所有上界也适用于带有适当参数的 Lin-Kernighan 算法的参数化推广。我们还证明 $k$-Opt 在图 TSP（Graph TSP）上的近似比为 $\Omega\left(\frac{\log(n)}{\log\log(n)}\right)$ 且对所有 $\epsilon>0$ 为 $O\left(\left(\frac{\log(n)}{\log\log(n)}\right)^{\log_2(9)+\epsilon}\right)$。对于 (1,2)-TSP，我们给出任意固定 $k$ 下 $k$-improv 与 $k$-Opt 算法近似比 $\frac{11}{10}$ 的下界。