多阶段最小和集覆盖的可近似性研究

我们研究多阶段版本的最小和集覆盖（$\mathrm{DSSC}$）的多项式时间可近似性，它是经典列表更新问题的一个自然且引人入胜的推广。在 $\mathrm{DSSC}$ 中，我们基于请求序列 $(R^1, \ldots, R^T)$ 在 $n$ 个元素上维护一个排列序列 $(\pi^0, \pi^1, \ldots, \pi^T)$。我们的目标是最小化将 $\pi^{t-1}$ 更新为 $\pi^{t}$ 的总代价（由 Kendall tau 距离 $\mathrm{D}_{\mathrm{KT}}(\pi^{t-1}, \pi^t)$ 量化）加上用当前排列 $\pi^t$ 覆盖每个请求 $R^t$ 的总代价（由 $R^t$ 的第一个元素在 $\pi^t$ 中的位置量化）。利用从集覆盖的归约，我们证明 $\mathrm{DSSC}$ 不允许 $O(1)$-近似，除非 $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$，并且对 $\mathrm{DSSC}$ 的任何 $o(\log n)$（相应地为 $o(r)$）近似意味着对集覆盖的亚对数（相应地为 $o(r)$）近似（相应地为每个元素至多出现 $r$ 次的情形）。我们主要的技术贡献是证明 $\mathrm{DSSC}$ 在一般实例中可通过随机舍入在 $O(\log^2 n)$ 因子内多项式时间近似，并且在所有请求基数至多为 $r$ 时可通过确定性舍入在 $O(r^2)$ 因子内近似。