关于以$k/r$为参数的$r$-简单$k$-路径及相关问题

Abasi等人（2014）与Gabizon等人（2015）研究了如下问题。在$r$-简单$k$-路径问题中，给定含$n$个顶点的有向图$G$与整数$r,k$，判定$G$是否存在$r$-简单$k$-路径，即每个顶点至多出现$r$次且顶点出现总次数为$k$的游走。在$(r,k)$-单项检测的问题中，给定编码某$n$变量多项式$P$的算术电路与整数$k,r$，判定$P$是否存在次数$k$且各变量次数至多为$r$的单项。在$p$-集$(r,q)$-填充问题中，给定全集$V$、正整数$p,q,r$以及元素属于$V$的大小为$p$的集合族$\cal H$，判定是否存在$\cal H$的大小为$q$的子族${\cal H}'$，其中每个元素至多出现在${\cal H}'$的$r$个集合中。Abasi等人与Gabizon等人证明了当以$(k/r)\log r$为参数时（其中对$p$-集$(r,q)$-填充有$k=pq$），这三个问题是单指数固定参数可处理的（FPT），并问指数中的$\log r$因子能否避免。我们从更宽视角考量该问题：上述各问题仅以$k/r$为参数时是否为FPT？我们通过以下方式解决这一更宽问题：(a) 对有向图上的$r$-简单$k$-路径给出$2^{O((k/r)^2\log(k/r))} (n+\log k)^{O(1)}$时间算法，对无向图上的$r$-简单$k$-路径给出$2^{O(k/r)} (n+\log k)^{O(1)}$时间算法（即对无向图我们以肯定回答回应原问题），(b) 表明$p$-集$(r,q)$-填充是FPT，以及(c) 证明$(r,k)$-单项检测是para-NP难的。对$p$-集$(r,q)$-填充，我们对任意固定$p$获得了多项式核，解决了Gabizon等人关于具松弛不交约束问题是否存在多项式核的疑问。