关于 Pogorelov 和 Toponogov 的问题

我们给出了两个问题的显式反例。一个由 Pogorelov 提出，另一个由 Toponogov 提出。这些问题涉及鞍面（即 $\mathbb{R}^3$ 中具有非正高斯/截面曲率的完备浸入正则曲面）中闭合渐近曲线的存在性，以及在某些拓扑条件下的几何推论。我们还修改了陈述并证明了修正版本。在附录中，我们包含了一个澄清 Milnor 猜想的例子。