经典与量子理论中光的“轨道”与“自旋”角动量——一个通用框架

我们发展了一个通用框架，用以分析两个重要且被广泛讨论的问题：(a) 光所携带的“轨道”与“自旋”角动量，以及 (b) 自由麦克斯韦系统的傍轴近似，二者均涵盖经典与量子领域。在将经典自由麦克斯韦系统以横向规范用复解析信号表述后，我们导出了与其庞加莱对称性相关的运动常数的表达式。特别地，我们证明了对应于总角动量 ${\bf J}$ 的运动常数自然分裂为一个“轨道”部分 ${\bf L}$ 和一个“自旋”部分 ${\bf S}$，且各自本身就是运动常数。接着我们讨论自由麦克斯韦系统的量子化，构造量子情形下生成庞加莱群的算符，并分析其代数性质，发现虽然 ${\bf L}$ 与 ${\bf S}$ 的量子对应物 $\hat{{\bf L}}$ 和 $\hat{{\bf S}}$ 成为名副其实的观测量，但它们不满足角动量代数，从而排除了在经典层次将其解释为“轨道”与“自旋”算符的可能性。另一方面，$\hat{{\bf J}}=\hat{{\bf L}}+ \hat{{\bf S}}$ 确实满足角动量代数，并与 $\hat{{\bf S}}$ 一起生成群 $E(3)$。随后我们给出单光子态、标量及矢量情形的傍轴量子化、傍轴区中单光子态的分析。自始至终都与经典情形下出现的希尔伯特空间 $\mathcal{M}$ 保持紧密联系，从而为辐射场的经典与量子描述之间提供了一座桥梁。