核截断法的最优零填充研究

核截断法（KTM）是一种常用算法，用于计算卷积型非局部势$\Phi(x)=(U\ast \rho)(x), ~x \in {\mathbb R^d}$，其中卷积核$U(x)$在原点和/或远场可能奇异，而密度$\rho(x)$光滑且快速衰减。在KTM中，为捕捉由核截断带来的傅里叶被积函数的振荡，需要对密度进行零填充，这意味着更大的物理计算域以及由对偶性带来的更细的傅里叶空间网格。经验性的四倍零填充[Vico等人 J. Comput. Phys. (2016)]对内存需求造成了沉重负担，尤其对于高维问题。本文首次推导了最优零填充因子，即$\sqrt{d}+1$，并给出了严格证明。内存开销大幅降低至原四倍算法所需的一小部分，即$(\frac{\sqrt{d}+1}{4})^d$。例如，在预计算步骤中，在$256^3$网格上的双精度计算采用最优三倍零填充仅需最小$3.4$ Gb内存，而四倍算法约需$8$ Gb，缩减因子为$\frac{37}{64}\approx \frac{3}{5}$。随后，我们给出了$d$维下势和密度的误差估计。接着，我们重新研究了各向异性密度的最优零填充因子。最后，提供了大量数值结果以确认精度、效率、各向异性密度的最优零填充因子，以及在不同类型非局部势上的应用，包括1D/2D/3D泊松、2D库仑、准2D/3D偶极-偶极相互作用和3D四极势。