关于 Index 与 Inner-Product 函数的散播器/提升性质

查询到通信的提升定理将布尔函数的查询复杂度与其关联“提升”函数的通信复杂度联系起来，该提升函数通过将原函数与另一称为小工具的函数多份副本复合得到，已在解决计算复杂性中许多开放问题方面发挥重要作用。如果我们能在 Index 函数提升所需的输入规模上取得实质性改进，从其当前的近线性大小降至原函数输入数 $N$ 的多对数级，或理想情况下常数级，若干重要复杂性问题便可解决。近线性大小界由 Lovett、Meka、Mertz、Pitassi 和 Zhang 利用近期对 Sunflower Lemma 的突破性改进证明，表明近线性大小的 Index 函数关联的某图是散播器。他们还陈述了一个关于 Index 函数的猜想，该猜想对使用现有技术进一步改进 Index 提升所需大小至关重要。本文证明如下：1）当 Index 小工具大小为 $\log N-\omega(1)$ 时，Lovett 等人的猜想不成立。2）此外，Inner-Product 函数在大小 $O(\log N)$ 时满足散播器性质，但当其大小为 $\log N-\omega(1)$ 时不具该性质。3）尽管如此，使用大小至少为 4 的 Index 小工具，我们证明了一类受限通信协议（其中一方仅限于发送其输入的奇偶性）的提升定理。4）利用该提升定理的思想，我们推导出从决策树大小到奇偶性决策树大小的强提升定理。我们借此推导出证明复杂性中从树型归结大小到树状 $Res(\oplus)$ 反驳大小的通用提升定理，由此得到许多关于此类证明的新指数下界。