广义黎曼型函数图像的盒维数

我们研究了一类连续周期函数 $G_\delta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}g(n^{2}x)n^{-1-\delta}$ 的图像的盒维数，其中 $g$ 是 1-周期 Lipschitz 函数，$0<\delta\le 1$，这推广了对应于 $g(x)=\sin(2\pi x)$ 和 $\delta=1$ 的经典黎曼函数的结果。更精确地说，我们首先证明，当 $g$ 的傅里叶系数满足与二次剩余分布相关的算术非消失条件时，$G_{\delta}$ 的图像的下盒维数不小于 $\frac74-\frac{\delta}{2}$。即使当 $g$ 具有有限傅里叶展开时，这个结果也是新的且非平凡的，突出了该级数内在的算术复杂性。其次，如果 $g'$ 在 $\mathbb{R}$ 上 Lipschitz 连续，我们证明上盒维数不超过 $\frac74-\frac{\delta}{2}$，这推广了 Chamizo 和 Córdoba 的早期工作，并揭示了 $g$ 的正则性与相关黎曼型级数的分形维数之间的深刻联系。最后，我们给出了一些说明性例子并提出了一些进一步的问题。