关于具有平衡度量的弱 Kähler 幂零流形

本文研究了允许某些特殊类 Hermitian 度量（即弱 Kähler、强 Gauduchon 和平衡度量）的复幂零流形 $X$ 的结构。我们证明，在复维数 4 中，$X$ 上存在（非必然不变的）弱 Kähler 度量意味着该幂零流形至多是 $2$-步的，并且其第一 Betti 数 $\geq 6$。此外，复结构具有非常特殊的形式，有时在文献中被称为“特殊类型”。我们还研究了弱 Kähler 度量的存在性与强 Gauduchon 或平衡度量的存在性之间的相互作用。一个关键结果是使用了某些被我们称为 $\mathfrak{b}$-扩张所保持的障碍。这使我们能够研究这些度量在重要的复幂零流形类上的存在性，例如几乎阿贝尔流形、具有极大幂零复结构的流形，以及具有非幂零复结构的 8 维幂零流形。我们还在每个复维数 $n\geq 4$ 中构造了同时允许弱 Kähler 度量（可能也是强 Gauduchon 的）和另一个平衡度量的复幂零流形。作为应用，我们找到了具有平衡度量且 Frölicher 谱序列在第二或第三页不退化的弱 Kähler 幂零流形。据我们所知，这些是首批具有此类性质的紧致弱 Kähler 流形。