关于Sivaraman问题与Gyárfás问题

图$G$的围长，记为$\mathrm{g}(G)$，是$G$中最短环的长度。若$G$不含环，则定义$\mathrm{g}(G)=\infty$。Sivaraman (2020) 询问了补图围长至少为6的图类的最优$\chi$-有界函数。设 $F(s) = \max\{\chi(G): \omega(G)\le s,\ \mathrm{g}(\overline{G})\ge 6\}$。我们证明存在常数$c>0$使得 $$c\left(\frac{s}{\log s}\right)^{4/3} \le F(s) \le (1+o(1))\frac{s^{3/2}}{\log s}.$$ 对于较小的值，我们建立了精确结果 $$F(1)=1,\; F(2)=2,\; F(3)=4,\; F(4)=5,\; F(5)=6,\; F(6)=8,$$ 且每个界都是紧的。图$G$称为\textit{几乎完美}的，如果$G$的每个诱导子图$H$满足$\alpha(H)\omega(H)+1\ge |V(H)|$。Gyárfás (2023) 询问几乎完美图是否由函数$g(x)=x+1$进行$\chi$-有界。我们通过证明不存在常数$c$使得每个几乎完美图$G$满足$\chi(G)\le \omega(G)+c$来否定地回答这个问题。