关于单位n立方体中k-反链的一个猜想

设 $[0, 1]^{n} \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 赋予其逐点序，并设 $k$ 为正整数。$[0, 1]^{n}$ 的子集 $A$ 被称为 \emph{$k$-反链}，如果对于每条链 $C \subseteq [0, 1]^{n}$，有 $\operatorname{card}(A \cap C) \leq k$。令 $\mathcal{H}^{m}$ 表示 $m$ 维Hausdorff外测度，Pelekis 和 Vlas\'ak [Publ.\ Math.\ Debrecen, 2020] 猜想存在一个 $k$-反链 $A \subseteq [0, 1]^{n}$ 满足 $\mathcal{H}^{n-1}(A) = k n$，并证明了该猜想在 $n = 2$ 时的特殊情况，而 Janzer [Mathematika, 2020] 证明了 Pelekis 和 Vlas\'ak 猜想的 $k = 1$ 情形。该猜想源于 Erd\H{o}s 关于 $\{ 0, 1 \}^{n}$ 中 $k$-反链的一个结果。我们完整地证明了 Pelekis 和 Vlas\'ak 的猜想，从而确立了他们的上界 $\mathcal{H}^{n-1}(A) \leq k n$ 对于 $[0, 1]^{n}$ 中的 $k$-反链 $A$ 是尖锐的。