存在一个非递归可枚举集 $\{n \in \mathbb{N}: \varphi(n)\}$，它是余递归可枚举的，其中公式 $\varphi(n)$ 简短且易于翻译为皮亚诺算术中的一阶公式

我们证明了集合 $\{n \in N: n$ 满足公式 (1)$\}$ 和 $\{n \in N: n$ 不满足公式 (2)$\}$ 不是递归可枚举的。我们证明了这些集合是余递归可枚举的。$(1)~\exists p,q \in N~((2n=(p+q)(p+q+1)+2q) \wedge \forall (x_0,...,x_p) \in N^{p+1}~\exists (y_0,...,y_p) \in\{0,...,q\}^{p+1}~\forall i,j,k \in \{0,...,p\}~(((x_j+1=x_k) \Rightarrow (y_j+1=y_k)) \wedge ((x_i \cdot x_j=x_k) \Rightarrow (y_i \cdot y_j=y_k))))$。$(2)~\exists (y_0,...,y_n) \in N^{n+1}~\forall i,j,k \in \{0,...,n\}~(((2^{\textstyle 2^{\textstyle 2^j \cdot 3^k}}+1$ 整除 $n) \Rightarrow (y_j+1=y_k)) \wedge ((2^{\textstyle 2^{\textstyle 2^i \cdot 3^j \cdot 5^{k+1}}}+1$ 整除 $n) \Rightarrow (y_i \cdot y_j=y_k)))$。利用 G"odel 的 $\beta$ 函数，我们可以轻松地将公式 (1) 翻译为皮亚诺算术中的一阶公式。对于 $n \in N$，令 $E_n=\{1=x_k,~x_i+x_j=x_k,~x_i \cdot x_j=x_k:~i,j,k \in \{0,...,n\}\}$。对于 $n \in N$，$f(n)$ 表示最小的 $b \in N$，使得如果方程组 $S \subseteq E_n$ 在 $N^{n+1}$ 中有解，则 $S$ 在 $\{0,...,b\}^{n+1}$ 中有解。函数 $f:N \to N$ 是极限可计算的，并最终支配每一个可计算函数 $g:N \to N$。我们提供了一个简短的程序，对于 $n \in N$，打印收敛于 $f(n)$ 的非负整数序列 $\{f_i(n)\}_{i=0}^\infty$。对于 $n \in N$，$\gamma(n)$ 表示最小的 $b \in N$，使得如果方程组 $S \subseteq E_n$ 在 $N^{n+1}$ 中有唯一解，则该解属于 $\{0,...,b\}^{n+1}$。函数 $\gamma:N \to N$ 是极限可计算的，并最终支配每一个具有单重丢番图表示的函数 $\delta:N \to N$。我们提供了一个简短的程序，对于 $n \in N$，打印收敛于 $\gamma(n)$ 的非负整数序列 $\{\gamma_i(n)\}_{i=0}^\infty$。