位移单调性下一阶平均场博弈的数值分析

我们引入一种粒子方法，用于数值逼近具有不可分、位移单调哈密顿量与终端代价、任意时间 horizon 以及（可能）奇异初始参与者分布 $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ 的含时一阶平均场博弈（MFG）系统。该数值格式基于隐式欧拉时间离散及与连续 MFG 系统关联的特征哈密顿量/庞特里亚金系统的空间采样。我们证明了当空间样本数趋于无穷且时间步长同时趋于零时，参与者分布逼近在 $L^{\infty}(\mathcal{W}_2)$ 度量下、以及沿最优轨迹的值函数梯度逼近在 $L^{\infty}{(L^2)}$ 范数下的收敛性。我们为此收敛建立的误差界进一步给出了该格式在一系列空间采样技术下的收敛速率。若拉格朗日量与终端代价额外局部 Lipschitz 连续，我们还建立了沿最优轨迹的值函数逼近在 $L^{\infty}(L^1)$ 范数下的渐近误差界。这是文献中首个处理不可分哈密顿量及潜在奇异初始智能体分布、任意长时间 horizon 的一阶 MFG 系统严格数值逼近与分析工作。我们在涵盖一系列初始智能体分布、时间 horizon 与空间维度的数值实验中展示了该格式的性能。