一般 $L^2$-超临界情形下拟线性 Schrödinger 方程的归一化解

本文致力于研究以下拟线性 Schrödinger 方程的归一化解的存在性：\begin{equation*} \begin{aligned} -\Delta u-u\Delta u^2 +\lambda u=h(u) \quad\mathrm{in}\ \mathbb{R}^{3}, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $\lambda$ 作为 Lagrange 乘子出现，$h$ 是 $L^2$-超临界且 Sobolev 亚临界的非线性项。这些解对应于能量泛函在 $L^2$-范数约束 $\int_{\mathbb{R}^3}|u|^2dx=a^2>0$ 下的临界点。结合 Pohozaev 流形与扰动方法，我们得到了基态归一化解以及无穷多个归一化解的存在性。此外，我们的结果涵盖了 \cite{LZ2023} 中的若干相关现有结果。最后，我们得到了当 $a$ 趋于 $+\infty$ 及 $a$ 趋于 $0^+$ 时能量的渐近性质。