卡尔曼滤波的在线学习：从输出估计到状态估计

本文研究在部分观测的线性动力系统中学习卡尔曼滤波的问题。我们提出了一种基于在线优化的统一算法框架，可用于求解输出估计和状态估计两种场景。通过探索估计误差代价函数的性质，如条件强凸性，我们证明算法在时间跨度 $T$ 内对输出估计场景实现了 $\log T$-遗憾。更重要的是，我们攻克了文献中尚未解决的学习卡尔曼滤波进行状态估计的更困难场景。我们首先刻画了该问题的一个基本限制，证明了任何算法都不可能实现关于 $T$ 的次线性遗憾。通过进一步在算法中引入随机查询方案，我们证明当赋予算法对系统状态更具信息量的测量的有限查询访问时，可以实现 $\sqrt{T}$-遗憾。我们的算法和遗憾界自然地刻画了查询次数与实现遗憾之间的权衡，并为有限观测的在线学习问题提供了启示。我们通过数值算例验证了算法的性能。