非线性Fokker--Planck方程及其相关分布依赖SDE的非唯一性

在本文中，我们研究定义域 $\mathcal O=\mathbb T^d$ 或 $\mathbb R^d$（$d\geq 2$）上的分布依赖随机微分方程，形式为 \begin{align*} {\rm d}X_t = v(t,X_t,\rho_t)\,{\rm d}t + \sqrt{2}\, \sigma(t,X_t,\rho_t)\,{\rm d}W_t, \qquad \rho_t:=\frac{{\rm d}\mu_t}{{\rm d}x}, \end{align*} 其中 $\mu_t=\operatorname{Law}(X_t)$。我们的主要构造是在相关的非线性Fokker--Planck方程层面上进行的。我们首先为这些PDE构建非唯一的概率解，然后使用叠加原理获得相应DDSDE的非唯一鞅解。我们在相应的结构假设下，在环面和全空间上，建立了关于稳态的两个主要非唯一性结果。首先，我们构造一个无散度漂移 $v\in C_tL^{d-}$，使得DDSDE从稳态初始密度出发具有\emph{无穷多个}不同的解。这个结果位于自然临界正则性阈值：在几个模型中，对于 $C_tL^{d+}$ 中的漂移，预期是适定的。其次，对于 $d\geq 3$ 和每个给定的 $N\in\mathbb{N}$，我们构造一个无散度漂移，使得DDSDE至少具有 $N$ 个不同的稳态鞅解。由此产生的平衡态多重性让人联想到物理系统中的多稳定性和相变现象。