低元数对称布尔 CSP 的非冗余性

非冗余性由 Bessiere、Carbonnel 和 Katsirelos（AAAI 2020）引入，是约束满足问题（$\mathsf{CSPs}$）的一个结构参数，它控制着核化、精确与近似稀疏化以及精确流复杂性。它是 $\mathsf{CSP}$ 实例中不存在具有相同满足赋值的更小子实例的最大规模。我们研究由值仅依赖于汉明重量的 $r$ 元关系 $R$ 定义的布尔对称 $\mathsf{CSPs}$ 的非冗余性 $\mathsf{NRD}_n(R)$。$\mathsf{CSP}(R)$ 的一个实例具有 $n$ 个变量和由 $r$ 元组给出的约束；当且仅当导出的元组属于 $R$ 时，该约束被满足。该类包含诸如割和 $k$-SAT 子句等自然谓词。我们的主要结果是对元数至多为 5 的对称布尔谓词的 $\mathsf{NRD}_n(R)$ 渐近增长进行了近乎完整的分类。利用计算实验和代数上下界准则，我们解决了元数至多为 4 的所有谓词以及除两个外元数为 5 的所有谓词。对于上界，我们引入了 $t$-平衡性，这是 Chen、Jansen 和 Pieterse（Algorithmica 2020）的平衡性概念的提升、高阶版本。我们证明 $t$-平衡性等价于存在捕获 $R$ 的 $t$ 次多重线性多项式，从而蕴含 $\mathsf{NRD}_n(R)=O(n^t)$。对于下界，我们使用 Carbonnel（CP 2022）的框架：允许从 $k$ 元 OR 进行特殊归约的谓词继承了 OR 的下界 $\Omega(n^k)$。在我们的框架中，唯一未解决的元数为 5 的谓词具有 $\Omega(n^2)$ 和 $O(n^3)$ 的界限；我们将其精确分类归约为自然的极值集合系统问题。