无遗憾 M${}^{\natural}$-凹函数最大化：随机老虎机算法与对抗全信息设置的困难性

M${}^{\natural}$-凹函数，又称总替代估值函数，在离散数学和经济学等许多领域中发挥着基础作用。在实践中，通常无法预先获得 M${}^{\natural}$-凹函数的完美知识，我们只能基于某些反馈以交互方式对其进行优化。受此类情况启发，我们研究了在线 M${}^{\natural}$-凹函数最大化问题，这是 Murota 和 Shioura（1999）所研究问题的交互式版本。对于随机老虎机设置，在 $T$ 次访问 M${}^{\natural}$-凹函数的无偏噪声值预言机下，我们提出了 $O(T^{-1/2})$-简单遗憾和 $O(T^{2/3})$-遗憾算法。证明这些结果的关键在于贪心算法对 M${}^{\natural}$-凹函数最大化中局部误差的鲁棒性，这也是我们的主要技术成果之一。尽管我们在随机设置中获得了这些积极结果，但我们工作的另一项主要成果是关于对抗设置中的不可能性。我们证明，即使在全信息反馈下，也不存在每轮以多项式时间运行的算法能够对任意常数 $c > 0$ 实现 $O(T^{1-c})$ 遗憾。我们的证明基于从三个拟阵的拟阵相交问题的归约，这将是在线学习中建立困难性的一种新颖方法。