基于函数增长条件度量的用一阶方法求解凸优化问题的新计算保证

受 Renegar 近期工作的启发，我们提出了新的计算方法及相关的计算保证，用于使用一阶方法求解凸优化问题。我们关注的问题是一般凸优化问题 $f^* = \min_{x \in Q} f(x)$，其中我们假设已知严格下界 $f_{\mathrm{slb}} < f^*$。[事实上，在优化统计学和机器学习中的许多损失函数（最小二乘、逻辑损失、指数损失、全变分损失等）以及 Renegar 的标准锥优化问题的变换版本时，$f_{\mathrm{slb}}$ 是自然已知的；在所有这些情况下均有 $f_{\mathrm{slb}} = 0 < f^*$。]我们引入了一种称为 $f(\cdot)$ 的增长常数 $G$ 的新函数度量，它衡量 $f(\cdot)$ 的水平集相对于函数值增长的速度，并在复杂性分析中起基础作用。当 $f(\cdot)$ 非光滑时，我们给出了次梯度下降法和光滑化方法的新的计算保证，这些保证能在若干方面改进现有计算保证，尤其是在初始迭代点 $x^0$ 远离最优解集时。当 $f(\cdot)$ 光滑时，我们提出了一种周期性重启加速梯度法的方案，在 $x^0$ 远离最优解集时也能改进现有计算保证；并且在存在附加结构时，我们提出了一种使用参数化增强光滑化的方案，进一步改进了相关计算保证。