等角线的新界与Balla猜想

设 $N_{\alpha}(d)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 中具有公共角 $\arccos(\alpha)$ 的等角线的最大数目。Balla猜想，如果 $\frac{1-\alpha}{2\alpha}$ 的谱半径阶 $\kappa_{\frac{1-\alpha}{2\alpha}}$ 是有限的，那么对于任何 $d\geq 1$，$$N_{\alpha}(d)\leq \max\left\{\frac{(1-\alpha^2)(1-2\alpha^2)}{2\alpha^4},\left\lfloor\frac{\kappa_{\frac{1-\alpha}{2\alpha}}(d-1)}{\kappa_{\frac{1-\alpha}{2\alpha}}-1}\right\rfloor\right\},$$ 该猜想此前仅对 $\alpha\in\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{1+2\sqrt{2}}\right\}$ 得到验证。在本文中，我们证明该猜想对 $\alpha=\frac{1}{1+2\sqrt{3}}$ 和 $\alpha=\sqrt{5}-2$ 成立。另一方面，我们证明Balla猜想对无穷多个 $\alpha$ 不成立。