离散盒子{0,1,2}^d双重覆盖的新界

$A=\{0,1,2\}^d$的真子盒子是乘积$S_1\times\dots\times S_d$，其中每个$\varnothing\neq S_i\subsetneq\{0,1,2\}$。双重覆盖是覆盖$A$的每个点恰好两次的真子盒子的有限多重集；记$f(d)$为双重覆盖的最小大小。Leader、Milicevic和Tan询问是否对所有$d$都有$f(d)\ge 2^d$（Charton-Ellenberg-Wagner-Williamson的PatternBoost论文中的问题4.1），类似于Alon-Bohman-Holzman-Kleitman划分界$2^d$。此前，对于任何$d\ge 2$，只知道平凡的体积界。我们证明了第一个非平凡下界。奇偶性论证的模精细化给出$f(d)\ge 2^{d+1}/(d+1)$；切片论证给出$f(4)\ge 19$，$f(5)\ge 33$，两者都高于$2^d$，解决了$d=4,5$的问题——这是超越平凡已知的$d\le 3$的首批情形。更精细的“线刚性”论证得到$f(6)\ge 60$，突破了轮廓统计障碍（此处显示上限为$57$）。这在Lean 4中得到了形式化验证：$f(6)\ge 60$仅基于三个标准Mathlib公理进行了机器检查。在上界方面，维数提升构造$f(r+3)\le 6\cdot 2^r+3f(r)$给出$f(6)\le 81$（改进了已知的$82$）以及渐近地$f(d)\le(\tfrac65+o(1))2^d$；一个改进将常数提高到$\tfrac87$。这在PatternBoost的降低其常数$1.28$的问题上取得了部分进展，并从$d=7$起反驳了闭式猜想$f(d)=5\cdot 2^{d-2}+1$。综合起来，$60\le f(6)\le 81$。最后，我们分离出构造侧的障碍——一个“S+c=2^j+1”现象，每个骨架恰好位于划分界之后一个盒子——并表明它与Leader-Milicevic-Tan问题本身是一体的。