带混合边界条件和接近共振扰动的非局部临界问题

我们考虑以下带有混合Dirichlet-Neumann边界条件的非局部临界问题：\n\n$$\n\left\{ \begin{array}{ll} (-\Delta)^s u=\lambda u+|u|^{2_s^*-2}u &\text{在}\ \Omega\\ \mkern+38.5mu u=0 & \text{在}\ \Sigma_{\mathcal{D}}\\ \mkern+24mu \displaystyle \frac{\partial u}{\partial \nu}=0 & \text{在}\ \Sigma_{\mathcal{N}} \end{array} \right.\n$$\n\n其中 $(-\Delta)^s$, $s\in (1/2,1)$ 为谱分数拉普拉斯算子，$\Omega\subset\mathbb{R}^N$, $N>2s$ 为光滑有界域，$2_s^*=\frac{2N}{N-2s}$ 为临界分数希洛瓦尔指数，$\lambda>0$ 为实参数，$\nu$ 为 $\partial\Omega$ 的外法向，$\Sigma_{\mathcal{D}}$, $\Sigma_{\mathcal{N}}$ 为 $\partial\Omega$ 的光滑 $(N-1)$ 维子流形，且 $\Sigma_{\mathcal{D}}\cup\Sigma_{\mathcal{N}}=\partial\Omega$，$\Sigma_{\mathcal{D}}\cap\Sigma_{\mathcal{N}}=\emptyset$ 且 $\Sigma_{\mathcal{D}}\cap\overline{\Sigma}_{\mathcal{N}}=\Gamma$ 为 $\partial\Omega$ 的光滑 $(N-2)$ 维子流形。通过运用 $\nabla$-定理我们证明当参数 $\lambda$ 位于给定特征值的左邻域内时，存在多个解。