嵌套积分生成定理：从算子重言式到精确积分恒等式族

插入恒等分解是量子理论、量子场论及相关数学物理领域中表示态与算子的标准技术。本文将此过程提升为一个严格的、与表示无关的框架，即嵌套积分生成定理。该定理从算子重言式出发，通过连续插入恒等分解并投影到任意正交基矢量，系统地生成精确的多重积分恒等式。所得构造适用于作用于任意目标态的闭算子的任意有限复合，并建立了从算子等式到精确积分恒等式族的一般映射。利用向量值积分理论，推导出了内积可与 Bochner 积分严格交换的显式且可验证的充分条件，从而将物理文献中常隐式处理的步骤置于坚实的数学基础之上。作为一个直接推论，该定理给出了单个算子函数的精确积分表示。其适用范围通过基本、多项式和分析单模算子，以及单模和双模高斯酉算子（包括压缩和分束）加以说明。该框架进一步应用于两个超出标准高斯计算的非平凡例子：Kerr 压缩相干态重叠的精确积分表示，以及用二元 Hermite 多项式表示的复合双模高斯网络的精确 Fock 基矩阵元。