负曲率阻碍内点法中良好障碍函数的存在
最优化与控制
2026-04-09 v1 微分几何
摘要
内点法(IPM)是欧几里得凸优化的基石，因其强大的理论保证和实际性能而备受推崇。受缩放问题的启发，Hirai与最后两位作者近期的研究(FoCS'23)将IPM扩展到了Hadamard流形上的测地凸优化。关键在于，IPM的复杂度（无论在欧几里得空间还是Hadamard空间中）均由区域的障碍参数所决定。我们证明，即使在双曲空间中，若干自然区域——包括测地球和三角形——其障碍参数也会随区域直径的多项式增长而增长。由此推广，正定矩阵和其他对称Hadamard空间也具有相同性质。这一增长意味着一个基本限制：依赖球体障碍函数的内点法无法高效求解具有挑战性的缩放问题，例如张量缩放，其中区域的直径可能随输入规模呈指数级增长。我们的结果部分受到Hamilton和Moitra(NeurIPS'21)建立的测地凸函数条件数下界的启发，并与之互补。
引用
@article{arxiv.2604.07319,
title = {Negative curvature obstructs the existence of good barriers for interior-point methods},
author = {Christopher Criscitiello and Harold Nieuwboer and Michael Walter},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.07319},
year = {2026}
}
备注
18 pages, 6 figures