近似稀疏信号一比特压缩感知的近最优下界

本文针对位于缩放 $\ell_1$ 球中的近似稀疏信号的一比特压缩感知，提供了首个近最优下界，该球是对精确 $k$-稀疏假设的常用松弛。在先前的工作中，均匀欧几里得误差的最佳已知上界为 $\widetilde{O}((k/m)^{1/3})$ 阶，其中 $m$ 是测量次数。在 sub-Gaussian 矩阵下，我们为规范一比特压缩感知模型和均匀抖动模型均建立了近乎匹配的下界。我们的论证是首先将一个小欧几里得球嵌入到信号集中，这对于抖动模型是直接的，但对于规范模型则依赖于提升映射，然后在这个小球中构造两个信号，它们在欧几里得距离上至少相差 $(k/m)^{1/3}$（对数因子内），但从二值测量中无法区分。此外，我们的论证扩展到位于适当缩放的 $\ell_q$ 球 $(q\in [0,1])$ 中的近似稀疏信号，产生了一个下界 $\widetilde{\Omega}((k/m)^{\frac{2-q}{2+q}})$，该下界平滑地桥接了精确稀疏（$q=0$）和 $\ell_1$ 稀疏（$q=1$）的情况。最后，我们讨论了下界向 sub-Weibull 矩阵、对抗位翻转、矩阵恢复的扩展，并刻画了向非稀疏情况的过渡。