具有足够大 2- Packing 图的 $\mathbb{Z}_p$-Ramsey 数的线性上界

给定正整数 $k$ 和图 $G$，$\mathbb{Z}_k$-Ramsey 数 $R(G,\mathbb{Z}_k)$ 是最小 $N$（若存在）使得每种着色 $f:E(K_N)\rightarrow \mathbb{Z}_k$ 包含 $G$ 的一个副本 $G'$，使得 $\sum_{e\in E(G')}f(e)=0$。针对 Caro 和 Mifsud 的问题，我们研究具有足够大 2-packing 的图的 $\mathbb{Z}_k$-Ramsey 数，即顶点集合 $S\subseteq V(G)$ 使得对所有不同的 $u,v\in S$，都有 $N[u]\cap N[v]=\emptyset$。具体而言，我们证明对所有 $n$ 顶点图 $G$ 和所有素数 $p$（满足 $p$ 整除 $e(G)$，且 $G$ 的最小度至少为 1，且存在大小为 $p-1$ 的 2-packing），都有 $R(G,\mathbb{Z}_p)\leq n+6p-9$。该上界根据 2-packing 中顶点的度数进行改进，在特定情况下等式成立。该结果还暗示，对最大度数受限的 $n$ 顶点图 $G$，有形式为 $R(G,\mathbb{Z}_p)\leq n+C$ 的上界。