多阶段背包问题

许多系统必须在底层约束、成本和/或收益随时间变化的情况下进行维护。尽管系统的状态可能随时间演化，但从一种状态过渡到另一种状态会产生不可忽略的转移成本。为了对这类情形建模，Gupta等人（ICALP 2014）与Eisenstat等人（ICALP 2014）引入了一种多阶段模型，其中输入是一串实例序列（每个时间步一个），目标是找到一串解序列（每个时间步一个），这些解既（i）对每个时间步近似最优，又（ii）尽可能稳定。我们关注背包问题的多阶段版本：给定时间范围t=1,2,...,T，以及在n个对象集合上定义的一串背包实例I_1,I_2,...,I_T（每个时间步一个）。在每个时间步t，我们必须选择I_t的一个可行背包S_t，其给出背包收益。为了度量两个连续解S_t和S_{t+1}的稳定性/相似性，我们识别那些在S_t和S_{t+1}中决策（是否被选取）保持不变的对象，从而给出转移收益。我们需要产生解序列S_1,S_2,...,S_T，使得总背包收益加上总体转移收益最大化。我们为Multistage Knapsack问题提出了一个PTAS。然后，我们证明即使对于T=2的情形，该问题也不存在FPTAS，除非P=NP。此外，我们给出了当步数受固定常数限制时的伪多项式时间算法，并表明否则即使所有权重、收益和容量均为0或1，该问题仍是NP难的。