在$2k$个非零平方数划分上可加的乘性函数

对于固定整数$k \ge 3$，我们研究满足对所有正整数$x_1,\dots,x_{2k}$有$$f\Bigl(\sum_{i=1}^{2k} x_i^2\Bigr) = \sum_{j=1}^{k} f\bigl(x_{2j-1}^2 + x_{2j}^2\bigr)$$的乘性函数$f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{C}$。这推广了Park关于两个非零平方数之和的定理，该定理确立了$k=2$的情形。对于$k=3$和$k=4$，我们证明每个满足$f(2)\neq 0$的此类$f$都是$\mathbb{N}$上的恒等函数。对于$k \ge 5$，我们证明这样的函数$f$要么是$\mathbb{N}$上的恒等函数，要么对所有$n > 2k + 21$有$f(n) = 0$。