随机 interlacement 需多稀疏才能被随机漫步看穿？

随机 interlacement $\mathscr{I}(u)$ 于 Sznitman 引入，作为在 $\mathbb{Z}^d$（$d\geq 3$）上的独立简单随机漫步轨迹的泊松集合，强度为 $u>0$。此后，多项研究考察了随机 interlacement 与 $\mathbb{Z}^d$ 中大型集合的交集性质。本文研究 $\mathscr{I}(u) \cap D_N$ 的容量的渐近行为，其中 $D_N$ 为紧凑集合 $D$ 的放大版，典型大小为 $N$。我们确定强度参数 $(u_N)_{N\geq 1}$ 的正确窗口，使得容量 $\mathrm{cap}(\mathscr{I}(u_N)\cap D_N)$ 相对于 $\mathrm{cap}(D_N)$ 开始变得可忽略；这大致意味着起源于遥远处的随机漫步开始能看穿 $\mathscr{I}(u_N)\cap D_N$。在同一 spirit 下，我们考察保持在大欧几里得球内至时间 $t_N$ 的简单随机漫步的容量，并通过取 $t_N = u_N N^d$ 找到类似的渐近行为。