计数具有固定解数的线性同余系统

对于素数 $p$ 和正整数 $s$，考虑描述为 $n \times m$ 矩阵的模 $p^s$ 整数环上的齐次线性系统。该系统的可能解数为 $p^j$，其中 $j=0,1,\ldots, sm$。我们研究给定恰好有 $p^j$ 个齐次解时，模 $\p^s$ 上的 $n \times m$ 矩阵有多少个。对于 $s=1$ 的情况（即 $\p^s$ 为域），乔治·冯·兰德伯格于 1893 年给出了通用公式。然而，仅有极少数关于 $s>1$ 的通用结果已发表，除非我们有唯一解（$j=0$）。本文提出了计数此类矩阵的递归方法，并给出 $j\le s$ 且 $n\ge m$ 时的显式公式。我们使用对欧拉函数的推广和高斯二项式系数来表达我们的公式。作为应用，我们计算了 gcd$(\det(A),p^s)$ 给出模 $\p^s$ 中齐次方程组 $Ax=0$ 解数的概率。