基于极坐标展开的 Stiefel 流形蒙特卡洛模拟

受具有正交矩阵参数的统计模型之贝叶斯推断应用的启发，我们提出 $\textit{polar expansion}$（极坐标展开），一种从 Stiefel 流形上概率分布进行蒙特卡洛模拟的通用方法。为规避模拟随机正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 分布所面临的诸多已知挑战，我们构造一个无约束随机矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的分布，使得 $\boldsymbol{Q}_X$（即 $\boldsymbol{X}$ 的极分解中的正交分量）与 $\boldsymbol{Q}$ 同分布。$\boldsymbol{X}$ 的分布易于使用标准方法通过马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟，并且 $\boldsymbol{Q}$ 分布的近似可从无约束空间上的马尔可夫链恢复。当与现代 MCMC 软件结合时，极坐标展开使得具有正交矩阵参数的模型能够进行常规且灵活的后验推断。我们发现，在基准蛋白质相互作用网络应用中，结合自适应哈密顿蒙特卡洛的极坐标展开比竞争的 MCMC 方法高效一个数量级。我们还提出了一种贝叶斯函数主成分分析的新方法，并在气象时间序列应用中加以说明。