平方根和模一分布的矩估计与差异

设 $k\ge 2$ 固定。我们研究 $n^k$ 个和 \begin{equation*} \sqrt{a_1} + \cdots + \sqrt{a_k}, \qquad 1\le a_1, \dots, a_k \le n, \end{equation*} 模一的分布（按重数计数）。对于 \begin{equation*} S(h,n) = \sum_{n/2\le a\le n} \mathbf{e}(h\sqrt{a}), \qquad \mathbf{e}(x) = \exp(2\pi i x), \end{equation*} 我们证明了二阶和四阶矩估计与对角尺度匹配，直到因子 $n^\varepsilon$。更精确地，\begin{equation*} \sum_{H/2\le h\le H} \left| S(h,n) \right|^2 \ll_{\varepsilon,\delta} Hn^{1+\varepsilon} \end{equation*} 对 $H\ge n^{1/2+\delta}$ 一致成立，且 \begin{equation*} \sum_{H/2\le h\le H} \left| S(h,n) \right|^4 \ll_{\varepsilon,\delta} Hn^{2+\varepsilon} \end{equation*} 对 $n^{1/2+\delta} \le H \le n^{2/3}$ 一致成立，其中在四阶矩估计中 $0<\delta<1/6$。将二阶矩界与逐点指数和估计以及 Erdős–Turán 不等式相结合，我们得到 \begin{equation*} D_k(n) \le n^{-\rho_k+o(1)}, \qquad \rho_k = \frac{71k+26}{26k+116}, \end{equation*} 当 $n\to\infty$ 时，其中 $D_k(n)$ 表示关于 $[0,1)$ 的任意子区间的差异。