量子马尔可夫链的完整熵不等式

我们证明有限维矩阵代数上的每个 GNS 对称量子马尔可夫半群都满足修正对数 Sobolev 不等式。在离散时间设定下，我们证明每个有限维 GNS 对称量子信道相对于其退相干自由部分满足强数据处理不等式。此外，我们建立了相对熵的第一个一般近似张量化性质。这将两个子系统的量子熵强次可加性（SSA）推广到两个子代数的一般设定。所有这三个结果都独立于环境的大小，因此满足张量化性质。它们通过一种共同的、概念上简单的方法获得，即通过谱或 $L_2$ 估计证明熵不等式。作为应用，我们将关于修正对数 Sobolev 不等式和近似量化张量化的结果结合，推导了具有理论与实际相关性的例子界限，包括 $\operatorname{SU}(2)$ 上子拉普拉斯算子的表示，以及各类局部量子马尔可夫半群如量子 Kac 生成元和连续时间近似酉设计。对于后者，我们的界限意味着在 $nk$ 个 qudit 上存在局部连续时间马尔可夫演化，在相对熵中形成 $\epsilon$-近似 $k$-设计，其时间尺度为 $\widetilde{\mathcal{O}}(n^2 \operatorname{poly}(k))$。