凸优化中的镜像对偶性

虽然一阶优化方法通常旨在高效降低函数值$f(x)$，但近期人们关注于高效降低$\nabla f(x)$模长的方法，且结果表明这两类方法表现出某种对称性。本文中，我们提出镜像对偶性，即降低函数值的镜像下降类方法与降低梯度模长的方法之间的一一对应。利用镜像对偶性，我们得到对偶加速镜像下降（dual-AMD）方法，可高效降低$\psi^*(\nabla f(x))$，其中$\psi$为距离生成函数，$\psi^*$量化$\nabla f(x)$的模长。我们将dual-AMD应用于高效降低$\|\nabla f(\cdot) \|_q$（$q\in [2,\infty)$），并高效计算最优传输问题的$\varepsilon$-近似解。