结构系统中的最小代价反馈选择：困难性与近似算法

本文研究线性时不变结构系统的输出反馈选择问题。我们假设输入与输出是专用的，即每个输入直接驱动单一状态，每个输出直接感知单一状态。给定一个具有专用输入与输出的结构系统，以及表示各反馈连接代价的代价矩阵，我们的目标是选取一组最优反馈连接，使闭环系统满足任意极点配置。该问题被称为专用输入/输出的最优反馈选择问题。我们首先通过从著名的NP困难问题——带权集合覆盖问题——的归约，证明了该问题的NP困难性。此外，我们还证明了专用输入/输出的最优反馈选择问题无法以$\log n$的常数因子近似，其中$n$表示系统维数。为此，我们提出一种算法以求得该问题的一个近似解。所提算法由势函数结合贪心策略构成，可获得具有保证近似比的解。接着我们考虑两种具有实际重要性的特殊网络拓扑，即回边反馈结构与分层网络。对于第一种情况（其为NP困难且无法以$\log n$乘法因子近似，其中$n$为系统维数），我们给出$(\log n)$-近似解。对于分层网络，我们给出基于动态规划的算法以在多项式时间内获得最优解。