图到阿贝尔群的最小等距嵌入：理论、算法及其在网络信号处理中的应用

本论文开发了一个框架，将任意连通图等距嵌入到阿贝尔群的Cayley图中，并应用于网络上的调和分析。它解决了在高度对称的代数宿主中表示不规则图结构数据的问题，经典Fourier理论可直接应用于这些宿主，而非类比。理论核心有两部分。首先，我们引入了边关系 phi、Phi 和 Psi 来检测度量平行性，这是Djokovic-Winkler关系在二部图和部分立方体结构之外的严格推广，并通过传递剪枝操作将其转换为候选的同生成元边划分。其次，我们证明了余循环/商标记定理：任何边划分都诱导一个最一般的相容顶点标记，作为维度 $k = t - \text{rank}(A)$ 的GF(2)商，其中 $A$ 是循环类奇偶矩阵；标记只能因捷径而失败，绝不会因拉伸而失败。通过一个捷径修复循环终止于等距生成树嵌入，我们得到了一个通用算法：每个连通图 $G$ 都能等距嵌入到 $(\mathbb{Z}_2)^k$ 的Cayley图中，其中 $k \le n-1$，并在所有最多七个顶点的995个连通图上进行了穷举验证。随之而来的是一个界理论：$k \ge \max(\text{diam}(G), \lceil\log_2 n\rceil)$；星图满足 $k_{\min}(K_{1,q}) = \lceil\log_2 q\rceil + 1$，指数级低于朴素维度；奇环需要 $k = n-1$。然后，我们通过Smith标准形将商机制从GF(2)推广到 $\mathbb{Z}$，给出到循环群乘积的嵌入。主要应用是调和分析：这些嵌入为图信号上的Fourier分析、卷积和小波变换奠定了基础，保留了矩阵图信号处理所缺乏的平移-调制对偶性、卷积定理和Plancherel恒等式。我们将此框架命名为基于群嵌入的图信号处理（GE-GSP）。